Brevkasse

Om metrik og rummets krumning omkring et sort hul


Svaret:

Metrik svarer lidt til "afstand"

Begrebet "metrik" er en udvidelse af afstandsbegrebet til at gælde ikke bare på flade planer (som f.eks. en bordplade), men at gælde på alle former for krumme overflader (f.eks. Jordens overflade) og flerdimensionale rum (ikke bare det tre-dimensionale rum, men også f.eks. 11-dimensionale).

I matematikken bruger man ordet "rum" lige meget hvor mange dimensioner det har: En linje er et 1-dimensionalt rum, en bordplade er et fladt 2D rum, en badebold er et krumt 2D rum med samme krumning over det hele, et bakkelandskab er et krumt 2D rum med forskellig krumning forskellige steder, osv.

Tre forskellige typer geometri

Du ved nok at hvis du tegner en trekant på et bord, er vinkelsummen 180°. Men hvis du tegner en trekant på en badebold, er vinkelsummen større end 180°. Det kalder man "positiv krumning", eller et "lukket" rum. Og hvis du tegner en trekant på en saddel, er vinkelsummen mindre end 180°. Det kalder man "negativ krumning", eller et "åbent rum".

Se her:

Vores Univers har 3 (rumlige) dimensioner. Umiddelbart vil man tro, at hvis kunne tegne en trekant i rummet, f.eks. fra Jorden, til Cyg X-1, til Andromeda, og tilbage til Jorden, ville dens vinkelsum være 180°. Sådan er det nok også, men sådan behøver det ikke være. Med andre ord, vores Univers er nok fladt, men kunne i princippet lige så godt være åbent eller lukket. Vi kan måle at det er fladt på "små" skalaer, altså fra galakse til galakse, men det kan godt have en krumning ≠0 på store skaler, altså til de meget fjerne galakser. Det svarer til at hvis du tegner en trekant på parkeringspladsen, har den 180°, men hvis du tegner en trekant fra Nordpolen til Congo til Indonesien og tilbage til Nordpolen, vil den faktisk have 90° i alle vinkler, og dermed en vinkelsum på 270°.

Tunge legemer krummer rummet

Derudover er det sådan, at i nærheden af tunge objekter krummes rummet yderligere. Det er noget som Einsteins relativitetsteori forudsagde, og som man senere har vist med forskellige eksperimenter. Jo tungere et objekt er, jo mere krummes rummet.

Som du måske har hørt om, taler man ofte som rummet og tiden som ét begreb, der kaldes rumtiden. Det er fordi, at rummet og tiden i virkeligheden er to sider af samme sag. Og ligesom rummet kan krumme, kan man også sige at tiden krummer, forstået på den måde, at tiden går langsommere i nærheden af tunge objekter.

Begreberne interval og begivenhed

Hvor man i rummet taler om afstande mellem to punkter, og i tiden taler om tidsrum mellem to tidspunkter, har man i rumtiden et begreb der samler de to, som man kalder et "interval" mellem to "begivenheder". En begivenhed er altså noget der sker et bestemt sted til et bestemt tidspunkt. Metrikken er den ligning der fortæller dig, hvordan rummet og tiden krummer. Eller, mere præcist, metrikken fortæller én hvordan intervallerne afhænger af, hvor/hvornår man er i rumtiden, altså hvor stor en ændring i intervallet der sker, når man flytter sig fra sted til sted, eller rettere fra begivenhed til begivenhed i rumtiden.

Skrives metrikken på tensorform, er det er ret kompakt ligning Hvis man er langt ude i rummet, lang fra nogle tunge objekter, er rummet (næsten) fladt, og den metriske tensor er særlig simpel: den består blot af 12 0'er og 4 1-taller.

Schwarzschild-metrikken

Hvis man er i nærheden af et enkelt objekt, f.eks. en planet, en stjerne eller et sort hul, er metrikken lidt mindre simpel: Nu afhænger den af afstanden til objektet. Løsningen blev fundet af Karl Schwarzschild i 1916, og derfor kaldes den Schwarzschild-metrikken. Fordi den kun afhænger af afstanden til objektet, er det lettest at udtrykke den i såkaldte polære koordinater, der ofte skrives $(r,\theta,\phi)$, i stedet for "almindelige" koordinater $(x,y,z)$.

Resultater kan skrives ret kompakt med tensorer, men kan også skrives ud i en relativt simpel ligning, som er den du ser til sidst i Wiki-artiklen, her skrevet lidt om:
$\quad c^2\,d\tau^2 = \left(1-\frac{r_s}{r}\right) c^2\,d\tau^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2).$
Denne ligning siger altså, at hvis du befinder dig i afstanden $r$ fra objektet, ved koordinaten $(r,\theta,\phi)$, og du flytter dig et lille stykke, så ændringen i dine koordinater er $(dr,d\theta,d\phi)$, og det tager et lille tidsrum $dt$, ændres dit interval som vist på ligningens venstre side (i anden potens). Tit skrives intervallet som $ds^2$; her er det skrevet som $c^2\,d\tau^2$. $c$ er lysets hastighed, og $d\tau$ er et lille tidsrum som dit ur ville vise, i modsætning til det andet tidsrum $dt$, som er det tidsrum en observatør langt fra det tunge objekt. Disse tidrum er ikke ens; det er det der menes med at tiden krummes. Det gælder altid at $d\tau < dt$ — altså tiden går langsommere i nærheden af objektet.

Det sidste i ligningen der skal forklares, er $r_s$, som kaldes "Schwarzschild-radius" og er givet ved $r_s = 2GM/c^2$, hvor $G$ er en konstant (Newtons gravitationelle konstant), og $M$ er objektets masse.

Hvis hele objektets masse ligger indenfor $r_s$, vil det kollapse til et sort hul. Det ændrer ikke metrikken, da der ikke indgår noget i ligningen om, hvordan massen er fordelt. Hvis noget kommer nærmere end $r_s$, vil det på ingen måde kunne undslippe, selv hvis det skulle være en lysstråle. For at give en ide om, hvor stor $r_s$, er Jordens Schwarzschild-radius kun 9 mm, men Solens er 3 km, og Cyg X-1 er ca. 45 km.

Jeg håber det meste af alt dette gav mening, og at det kunne hjælpe. Ellers skriv bare igen.

Bedste hilsener,
Peter