Om Olbers' paradox


   > Hej Peter,
   >
   > Hvorfor burde nattehimlen være lys over det hele, hvis vi levede i et
   > uendeligt stort, uendeligt gammelt univers, sådan som "Olbers' paradox" siger?
   > Jo længere væk stjernerne er, jo mindre er deres tilsyneladende overflade jo,
   > og uendeligt langt væk er deres overflade uendelig lille.
   >
   > Venlig hilsen
   > Torkild Glaven


Først en kort intro til andre end Torkild:

   Efter at Newton fandt, at alting tiltrækker hinanden pga. tyngdekraften, mente nogle at det eneste
   der kunne afholde Universet fra at kollapse var, hvis det var uendeligt stort, således at en givet
   stjerne følte nogenlunde samme tiltrækning i alle retninger. Men hvis Universet er uendeligt,
   altså ikke bare virkelig, virkelig stort, men uden nogen grænse, må en observatørs synslinie
   i en hvilken som helst retning på et eller andet tidspunkt møde overfladen på en stjerne.
   Det faktum, at nattehimlen i det store hele er mørk, med enkelte (omend ret mange) lysende
   prikker på, er kendt som Olbers' paradox (selv om det slet ikke var Olbers det først fremsatte det).

Jeg kan give to forklaringer; en matematisk, og en mere heuristisk. Den sidste først:

Det er rigtigt at set fra Jorden bliver stjernernes overflade mindre og mindre, men de bliver aldrig
uendelig små. Det kan godt være at dén stjerneoverflade der "stopper" vores synslinie ligger meget,
meget langt væk, men hvis den gennemsnitlige tæthed at stjerner er nogenlunde ens over det hele,
er der en vis endelig sandsynlighed (altså >0) pr. meter, eller pr. lysår, for at vores synslinie
møder en stjerne. Hvis vi kalder dén sandsynlighed pr. lysår for P, vil synslinien efter
omtrent 1/P lysår med stor sansynlighed have mødt en stjerne. Efter f.eks. 1000/P lysår
vil den med meget stor sansynlighed have mødt en stjerne, og hvis den stadig ikke har dét,
tager vi bare 1000/P mere, osv.

Det er rigtig, at der til enhver endelig strækning er en lille sansynlighed for, at synslinien
ikke har mødt en stjerne, men ved at gå vilkårligt langt ud i rummet, kan vi gøre
dén sansynlighed vilkårligt lille, og i et uendeligt univers bliver den uendeligt lille.


Nu til den matematiske fremstilling af paradoxet: Lad n være den gennemsnitlige tæthed
af stjerner i Universet (altså f.eks. antallet af stjerner pr. kubiklysår), og lad L være den
gennemsnitlige stellare luminositet (dvs. total energi-output pr. stjerne). Dén flux f (dvs. energi
pr. areal) som vi modtager på Jorden fra en stjerne af luminositet L i en afstand r er givet ved
afstandkvadratloven:

      f(r) = L / (4πr2).

Betragt nu, som på billedet, en tynd sfærisk skal af stjerner, med radius r og tykkelse dr,
centreret på Jorden.



Intensiteten dI (dvs. energi pr. areal pr. rumvinkel) af stråling fra denne skal af stjerner er:

      dI(r) = f(r) n r2 dr
              = L / (4πr2) n r2 dr
              = n L dr / (4π).

Den totale intensitet af stjernelys fra en skal afhænger altså udelukkende af dens tykkelse, ikke
af dens afstand fra os. Vi kan beregne den totale intensitet I af stjernelys fra alle stjernerne i
Universet ved at integrere over skaller af alle radier:

      I = ∫ dI
        = ∫ n L dr / (4π),
        = nL/4π  ×  ∫ dr,

hvor integralet løber fra 0 til ∞. Løsningen til dette integrale er "uendelig". Når "paradoxet" siger,
at nattehimlen burde være lige så lys som en stjerne, i stedet for uendelig lys, er det fordi når først
synslinien er stødt på en stjerne, kan man ikke se de uendeligt mange stjerner, der ligger bagved.


En del af løsningen til dette tilsyneladende paradox blev givet i 1848 af digteren Edgar Allan Poe,
der sagde, at hvis nu Universet ikke var uendelig gammelt, kunne det være, at lyset fra de
fjerneste stjerner simpelthen blot ikke havde nået os endnu.

Derudover er der også det faktum, at lys der bevæger sig gennem Universet bliver rødforskudt,
pga. at det bevæger sig gennem et Univers der udvider sig. Dvs. at dets bølgelængde bliver
længere og længere, således at lysets bliver rødere og rødere, for til sidst at blive infrarødt,
hvilket ikke kan ses af det menneskelig øje.

(En tidlig, forkert forklaring på Olbers' paradox gik på, at Universet kunne være fyldt med støv, som
absorberede lyset. Men i så fald ville støvet blot efter en endelig tid blive varmet op til at have samme
temperatur som stjernerne, og dermed lyset ligeså kraftigt som stjernerne.)



Bedste hilsener,
Peter Laursen

(Du kan se flere svar til interesserede læsere her, under "Brevkasse".)